Celeridad o Rapidez

Mecánica → Cinemática → Celeridad o Rapidez

La Celeridad o Rapidez:

En este capítulo vamos a tratar un tema muy importante dentro de la cinemática como es el de la celeridad o rapidez.

 Se define la celeridad (o rapidez) de un cuerpo como:
la división entre la distancia recorrida por un cuerpo a lo largo de su trayectoria entre el tiempo empleado en dicho movimiento
Es muy importante no confundir la velocidad con la celeridad ya que son conceptos distintos (uno se toma en cuenta el espacio recorrido y el otro el desplazamiento, ambos diferentes).

 La celeridad o rapidez se puede representar mediante la siguiente expresión:

donde:
c es la celeridad
ΔS es el espacio recorrido
Δt es el tiempo empleado en recorrer el espacio anterior
Propiedades de la Celeridad o Rapidez:

La celeridad o rapidez presenta las siguientes propiedades:
  • Es una magnitud escalar, es decir no es un vector sino un número real
  • Sus unidades son metros / segundo (m/s) en el Sistema Internacional de Unidades
  • Su dimensión es [L]/[T]

Celeridad Media y Celeridad Instantánea:

 La celeridad media es la celeridad tomada para puntos iniciales y finales separados entre sí. Su contraparte en velocidad es la velocidad media.

En cambio, la celeridad instantánea indica la celeridad en cada momento y se calcula al hacer tender la diferencia entre los puntos iniciales y finales a cero.

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Ecuación de Posición

Mecánica → Cinemática → Ecuación de Posición

La Ecuación de Posición:

En este capítulo vamos a tratar un tema muy importante dentro de la cinemática como es el de la ecuación de posición.

 Se define la ecuación de posición (o ecuación de trayectoria)de un cuerpo como:
la ecuación que representa el vector de posición de un cuerpo en función del tiempo
Esta ecuación describe por lo tanto la trayectoria, que es la línea geométrica por la cuál se desplaza el cuerpo al describir su movimiento.

 La ecuación de posición en coordenadas cartesianas en el espacio se puede representar de la siguiente manera:

donde:
r (t)→ es la ecuación de posición o vector de posición en función del tiempo 
x(t), y(t), z(t) son las coordenadas de los ejes x, y, z
Ejemplo de Ecuación de Posición:

Veamos a continuación un ejemplo muy sencillo de ecuación de posición:

 Ejemplo: ecuación de posición de un cuerpo en caída libre

 Datos:
  • la posición inicial del cuerpo son 1.000 metros de altura
  • la aceleración de la gravedad: g = 9,8 m/s2
Por lo tanto, la ecuación de posición es:

r(t)→ =  1000 - 1/2 · g · t2 j →

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Espacio Recorrido

Mecánica → Cinemática → Espacio Recorrido

El Espacio Recorrido:

En este capítulo vamos a tratar un tema muy importante dentro de la cinemática como es el del espacio recorrido.

 Se define el espacio recorrido por un cuerpo como:
la longitud del tramo de la trayectoria que recorre un cuerpo entre la posición inicial y la posición final
El espacio recorrido se representa mediante la siguiente expresión:

 ΔS = S2 - S1,

 Veamos la representación gráfica del espacio recorrido mediante un ejemplo sencillo de movimiento circular:
Supongamos que el radio de la circunferencia (trayectori) es igual a 1. Entonces, como el espacio recorrido se corresonde con la mitad de una circunferencia:

 ΔS = 2 · π · 1 / 2 = π ≈ 3, 14
Tenemos que tener en cuenta que el espacio recorrido es distinto del desplazamiento. En el caso anterior, el vector desplazamiento toma el siguiente valor:

Δr→ = 2i →

cuyo módulo es igual a 2 (mucho menor que el espacio recorrido.

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Velocidad Instantánea

Mecánica → Cinemática → Velocidad Instantánea

La Velocidad Instantánea:

En este capítulo vamos a tratar un tema muy importante dentro de la cinemática como es el de la velocidad instantánea.

 Se define la velocidad instantánea de un cuerpo como:
la velocidad que tiene un cuerpo en un instante determinado en un punto determinado de su trayectoria
La velocidad instantánea se calcula como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero y se corresponde con la derivada del vector de posición respecto del tiempo:

donde:
vm→ es la velocidad media
Δr→ es el vector desplazamiento
r→ es el vector de posición en el punto final
Δt es el tiempo transcurrido en el desplazamiento 

Veamos gráficamente la representación de la velocidad media:


Observamos que a medida que nos aproximamos a A, la velocidad media se va pareciendo más a la velocidad instantánea. Cuando estudiamos la velocidad media en un entorno muy próximo al punto A, entonces se corresponde con la velocidad instantánea.

Propiedades de la Velocidad Instantánea:

Veamos las propiedades de la velocidad instantánea:
  • El módulo del vector velocidad instantánea es igual al módulo del vector desplazamiento entre el tiempo en puntos infinitamente próximos al estudiado:
  • La dirección del vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria ya que el vector desplazamiento coincide con ella.
  • El sentido del vector velocidad media es el mismo que la del vector desplazamiento
  • En el Sistema Internacional de Unidades tiene las siguientes dimensiones:
velocidad instantánea = metros / segundos 
Por lo tanto: [ v ] = [ L ] · [ T ] -1

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Velocidad Media

Mecánica → Cinemática → Velocidad Media

La Velocidad Media:

En este capítulo vamos a tratar un tema muy importante dentro de la cinemática como es el de la velocidad media.

 Se define la velocidad media de un cuerpo como:
la división entre el vector desplazamiento y el tiempo invertido en dicho desplazamiento
La velocidad media viene dada por la siguiente expresión:


 donde:
Δr→ es el vector desplazamiento
r→ es el vector de posición en el punto final
r0→ es el vector de posición en el punto inicial
Δt es el tiempo transcurrido en el desplazamiento entre los dos puntos 

Veamos gráficamente la representación de la velocidad media:


 Propiedades de la Velocidad Media:

Veamos las propiedades de la velocidad media:
  • El módulo del vector velocidad media es igual al módulo del vector desplazamiento ente el tiempo:

  • La dirección del vector velocidad media es la misma que la del vector desplazamiento (misma recta)
  • El sentido del vector velocidad media es el mismo que la del vector desplazamiento
  • En el Sistema Internacional de Unidades tiene las siguientes dimensiones:
velocidad media = metros / segundos 
Por lo tanto: [ v ] = [ L ] · [ T ] -1
Ejemplos de Velocidad Media:

Veamos algunos ejemplos de cálculo de la velocidad media:
    Ejemplo 1: 

     Calcular la velocidad media de un cuerpo si sabemos que en el momento t = 10 segundos estaba en la posición (0, 10, 5) respecto del origen del sistema de coordenadas y en el momento t = 20 estaba en la posición (10, 10, 15).

     Resolvemos:

     Calculamos en primer lugar el vector desplazamiento:

     vector desplazamiento = (10, 10, 15) - (0, 10, 5) = (10, 0, 10)

     El tiempo empleado para realizar el desplazamiento son 10 segundos, por lo tanto el vector velocidad media es:

     vector velocidad media = (10/10, 0/10, 10/10) = (1, 0, 1)

     Por último calculamos su módulo:

     módulo vector velocidad media = √2

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     Ver también:

    Trayectoria

    Mecánica → Cinemática → Trayectoria

    La Trayectoria:

    En este capítulo vamos a tratar un tema muy importante dentro de la cinemática como es el de la trayectoria.

     Se define la trayectoria de un cuerpo como:
    la línea formada por los puntos por los que se desplaza el cuerpo con el paso del tiempo
    Nota: es importante no confundir la trayectoria de un cuerpo con su desplazamiento. Se define el desplazamiento como:
    El vector que une el punto de inicio de desplazamiento de un cuerpo y el punto al que se ha desplazado al cabo de un tiempo determinado
    Veamos gráficamente la diferencia entre la trayectoria y el desplazamiento de un cuerpo que se desplaza de un punto A a otro punto B:


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    Vector de Desplazamiento

    Mecánica → Cinemática → Vector de Desplazamiento

    Vector de Desplazamiento:

    En este capítulo vamos a tratar un tema muy importante dentro de la cinemática como es el del vector de desplazamiento.

    Se define el Vector de Desplazamiento como:
    El vector que une el punto de inicio de desplazamiento de un cuerpo y el punto al que se ha desplazado al cabo de un tiempo determinado
    El vector desplazamiento se representa como la variación en los vectores de posiciones del punto final menos el del punto inicial:

    Δr→ = r  - →r0 →


    donde:
    Δr→ es el vector desplazamiento
    r→ es el vector de posición en el punto final
    r0→ es el vector de posición en el punto inicial
    Nota: es importante no confundir desplazamiento con trayectoria. El desplazamiento une dos puntos mientras que la trayectoria es la línea que describe el cuerpo al moverse.

    Gráficamente, el vector de desplazamiento se representa de la siguiente manera:


    Ejemplos de Vector de Desplazamiento:

    Veamos algunos ejemplos de cálculo del vector de desplazamiento:

    Ejemplo 1: 

    Vector de posición del punto inicial: (2, 1, 3)
    Vector de posición del punto final: (3, 5, 1)

    Vector de desplazamiento: (3-2, 5-1, 1-3) = (1, 4, -2)

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    Módulo del Vector de Posición

    Mecánica → Cinemática → Módulo del Vector de Posición

    Módulo del Vector de Posición:

    En este capítulo vamos a tratar un tema muy importante dentro de la cinemática como es el del módulo del vector de posición.

    Se define el Módulo de un Vector de Posición como:
    La longitud del vector de posición que va desde el origen del sistema de referencia hasta el cuerpo analizado
    El módulo del vector de posición se calcula de la siguiente manera:

     Sea el siguiente vector de posición r

     r→ =  xi + y→j + z→k→ 

    donde:
    r→  es el vector de posición
    i , →→j , →k
      son los vectores unitarios de los ejes OX, OY y OZ
    x, y, z son las coordenadas del vector de posición
    Entonces, el módulo del vector de posición será:

     Gráficamente, el vector de posición se representa de la siguiente manera:



    Ejemplos de Módulo del Vector de Posición:

    Veamos algunos ejemplos de cálculo del módulo de diferentes vectores de posición:
    Ejemplo 1:  r→ =  i + →→j 
    Módulo = √ (12 + 12) = 1
    r→ =  3i + 4→→j 
      
    Módulo = √ (32 + 42) = 5
    r→ =  -i + 2→→j 
      
    Módulo = √ (-12 + 22) = √5
    r→ =  2i + 3→→j - 2→k
      
    Módulo = √ (22 + 32 + -22) = √17
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